【題目】四棱錐中，面，底面為菱形，且有，，，為中點．

（1）證明：面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

【答案】(1)證明見解析；(2) 二面角E﹣AB﹣C的平面角的余弦值為

【解析】

（1）因為菱形的對角線互相垂直，所以，再由的中位線，得到，結(jié)合面，所以面，從而．最后根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，得到面；

（2）以為原點，、所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示坐標系，則可得到、、、各點的坐標，從而得到向量、、的坐標，然后利用垂直向量數(shù)量積為零的方法，分別求出平面和平面的一個法向量，結(jié)合空間向量的夾角公式計算出它們的夾角的余弦值．最后根據(jù)題意，二面角是銳二面角，得到二面角平面角的余弦值為余兩個法向量夾角余弦的絕對值．

解：（1）設(shè)為底面的中心，連接，

底面為菱形，

中，、分別是、的中點

又面，

面

面，

又、是平面內(nèi)的兩條相交直線

面

（2）以為原點，、所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示坐標系，則可得

設(shè)是平面一個法向量

由，解得，

所以取，，，可得，

因為平面，所以向量即為平面的一個法向量，設(shè)

根據(jù)題意可知：二面角是銳二面角，其余弦值等于

二面角的平面角的余弦值為．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．

(1) 證明：PB∥平面AEC

(2) 設(shè)二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在棱長為的正方形中，、分別為，邊上的中點，現(xiàn)將點以為軸旋轉(zhuǎn)至點的位置，使得為直二面角．

（1）證明：；

（2）求異面直線與所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】綠色已成為當今世界主題，綠色動力已成為時代的驅(qū)動力，綠色能源是未來新能源行業(yè)的主導．某汽車公司順應(yīng)時代潮流，最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續(xù)航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠里程）的測試．現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；

（2）根據(jù)大量的汽車測試數(shù)據(jù)，可以認為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計算第（1）問中樣本標準差的近似值為50．用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值；

（ⅰ）現(xiàn)從該汽車公司最新研發(fā)的新能源汽車中任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程恰好在200千米到350千米之間的概率；

（ⅱ）從該汽車公司最新研發(fā)的新能源汽車中隨機抽取10輛，設(shè)這10輛汽車中單次最大續(xù)航里程恰好在200千米到350千米之間的數(shù)量為，求；

（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優(yōu)惠券．已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第50格．遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動一次，若擲出正面，遙控車向前移動一格（從到），若擲出反面，遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第49格（勝利大本營）或第50格（失敗大本營）時，游戲結(jié)束．設(shè)遙控車移到第格的概率為，其中，試說明是等比數(shù)列，并解釋此方案能否成功吸引顧客購買該款新能源汽車.

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求證：當時，；

（2）若函數(shù)與函數(shù)有兩個不同交點其中，證明：存在，使得在處的切線斜率與在處的切線斜率相等.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】松、竹、梅經(jīng)冬不衰，因此有“歲寒三友”之稱.在我國古代的詩詞和典籍中有很多與松和竹相關(guān)的描述和記載，宋代劉學箕的《念奴嬌·水軒沙岸》的“綴松黏竹，恍然如對三絕”描寫了大雪后松竹并生相依的美景；宋元時期數(shù)學名著《算學啟蒙》中亦有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.現(xiàn)欲知幾日后，竹長超過松長一倍.為了解決這個新問題，設(shè)計下面的程序框圖，若輸入的，，則輸出的的值為（ ）

A.4B.5C.6D.7

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求的值，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，若對任意，都有恒成立，試求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），為的導函數(shù)，且.

（1）求實數(shù)的值；

（2）若函數(shù)在處的切線經(jīng)過點，求函數(shù)的極值；

（3）若關(guān)于的不等式對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）記為數(shù)列的前項和，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．

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