Question

【題目】如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑．已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測(cè)得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．

（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)；

（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說(shuō)明理由；

（3）對(duì)規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．

Answer 1

【答案】（1）15（百米）；

（2）見(jiàn)解析；

（3）17+（百米）.

【解析】

解：解法一：

（1）過(guò)A作，垂足為E.利用幾何關(guān)系即可求得道路PB的長(zhǎng)；

（2）分類討論P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處即可.

（3）先討論點(diǎn)P的位置，然后再討論點(diǎn)Q的位置即可確定當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．

解法二：

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別確定點(diǎn)P和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)之間距離公式可得道路PB的長(zhǎng)；

（2）分類討論P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處即可.

（3）先討論點(diǎn)P的位置，然后再討論點(diǎn)Q的位置即可確定當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．

解法一：

（1）過(guò)A作，垂足為E.

由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，.

因?yàn)?/span>PB⊥AB，

所以.

所以.

因此道路PB的長(zhǎng)為15（百米）.

（2）①若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點(diǎn)（除B，E）到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.

②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知，

從而，所以∠BAD為銳角.

所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.

因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.

綜上，P和Q均不能選在D處.

（3）先討論點(diǎn)P的位置.

當(dāng)∠OBP<90°時(shí)，線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求；

當(dāng)∠OBP≥90°時(shí)，對(duì)線段PB上任意一點(diǎn)F，OF≥OB，即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.

設(shè)為l上一點(diǎn)，且，由（1）知，，

此時(shí)；

當(dāng)∠OBP>90°時(shí)，在中，.

由上可知，d≥15.

再討論點(diǎn)Q的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時(shí)，.此時(shí)，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.

綜上，當(dāng)PB⊥AB，點(diǎn)Q位于點(diǎn)C右側(cè)，且CQ=時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.

因此，d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為17+（百米）.

解法二：

（1）如圖，過(guò)O作OH⊥l，垂足為H.

以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OH為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?/span>BD=12，AC=6，所以OH=9，直線l的方程為y=9，點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)分別為3，3.

因?yàn)?/span>AB為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.

從而A（4，3），B（4，3），直線AB的斜率為.

因?yàn)?/span>PB⊥AB，所以直線PB的斜率為，

直線PB的方程為.

所以P（13，9），.

因此道路PB的長(zhǎng)為15（百米）.

（2）①若P在D處，取線段BD上一點(diǎn)E（4，0），則EO=4<5，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.

②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知D（4，9），又A（4，3），

所以線段AD：.

在線段AD上取點(diǎn)M（3，），因?yàn)?/span>，

所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.

因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.

綜上，P和Q均不能選在D處.

（3）先討論點(diǎn)P的位置.

當(dāng)∠OBP<90°時(shí)，線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求；

當(dāng)∠OBP≥90°時(shí)，對(duì)線段PB上任意一點(diǎn)F，OF≥OB，即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.

設(shè)為l上一點(diǎn)，且，由（1）知，，此時(shí)；

當(dāng)∠OBP>90°時(shí)，在中，.

由上可知，d≥15.

再討論點(diǎn)Q的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.

當(dāng)QA=15時(shí)，設(shè)Q（a，9），由，

得a=，所以Q（，9），此時(shí)，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.

綜上，當(dāng)P（13，9），Q（，9）時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離

.

因此，d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為（百米）.