【題目】已知動圓與圓： 相切，且與圓： 相內(nèi)切，記圓心的軌跡為曲線.設為曲線上的一個不在軸上的動點， 為坐標原點，過點作的平行線交曲線于, 兩個不同的點.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）試探究和的比值能否為一個常數(shù)？若能，求出這個常數(shù)，若不能，請說明理由；

（Ⅲ）記的面積為， 的面積為，令，求的最大值.

【答案】（1）圓心的軌跡： ；

（2）和的比值為一個常數(shù)，這個常數(shù)為；

（3）當時， 取最大值.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)兩圓相切得圓心距與半徑之間關系： ，消去半徑得，符合橢圓定義，由定義可得軌跡方程（2）探究問題，實質(zhì)是計算問題，即利用坐標求和的比值：根據(jù)直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用兩點間距離公式及韋達定理、弦長公式可得和的表達式，兩式相比即得比值（3）因為的面積的面積，所以，利用原點到直線距離得三角形的高，而底為弦長MN（2中已求），可得面積表達式，為一個分式函數(shù)，結合變量分離法（整體代換）、基本不等式求最值

試題解析：解：（1）設圓心的坐標為，半徑為，

由于動圓一圓相切，且與圓相內(nèi)切，所以動圓與圓只能內(nèi)切

∴

∴圓心的軌跡為以為焦點的橢圓，其中，

∴

故圓心的軌跡．

（2）設，直線，則直線，

由可得： ，∴，

∴

由可得： ，

∴，

∴

．

∴

∴和的比值為一個常數(shù)，這個常數(shù)為．

（3）∵，∴的面積的面積，∴，

∵到直線的距離，

∴．1

令，則， ，

∵（當且僅當，即，亦即時取等號）

∴當時， 取最大值．1

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義在D上的函數(shù)，若存在區(qū)間[m，n]D及正實數(shù)k，使函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域恰為[km，kn]，則稱函數(shù)f（x）是k型函數(shù)．給出下列說法：
①f（x）=3﹣ 不可能是k型函數(shù)；
②若函數(shù)f（x）= （a≠0）是1型函數(shù)，則n﹣m的最大值為 ；
③若函數(shù)f（x）=﹣ x2+x是3型函數(shù)，則m=﹣4，n=0．
其中正確說法個數(shù)為（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

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【題目】潮州統(tǒng)計局就某地居民的月收入調(diào)查了人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分

布直方圖（每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示收入在）。

（1）求居民月收入在的頻率；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（3）為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關系，必須按月收入再從這人中分層抽樣方法抽出人作進一步分析，則月收入在的這段應抽多少人？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，矩形與梯形所在的平面互相垂直， ， ∥， ， ， ， 為的中點， 為中點．

（1）求證：平面∥平面；

（2）求證：平面平面 ．

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【題目】由數(shù)列中的項構成新數(shù)列，，，…，，…是首項為1，公比為的等比數(shù)列．

（1）數(shù)列的通項公式；

（2）求數(shù)列的前項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=sin（x+ ）+cosx，x∈R，
（1）求函數(shù)f（x）的最大值，并寫出當f（x）取得最大值時x的取值集合；
（2）若α∈（0， ），f（α+ ）= ，求f（2α）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】先后拋擲兩枚大小相同的骰子.

（1）求點數(shù)之和出現(xiàn)7點的概率；
（2）求出現(xiàn)兩個6點的概率；

（3）求點數(shù)之和能被3整除的概率。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊長，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2﹣c2=ac﹣bc，
（1）求∠A的大小；
（2）求 的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設直線與拋物線相交于不同兩點、，與圓相切于點，且為線段中點．

(1) 若是正三角形（是坐標原點），求此三角形的邊長；

(2) 若，求直線的方程；

(3) 試對進行討論，請你寫出符合條件的直線的條數(shù)（直接寫出結論）．

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