Question

已知圓C經(jīng)過兩點P（-1，-3），Q（2，6），且圓心在直線x+2y-4=0上，直線l的方程為（k-1）x+2y+5-3k=0．
（1）求圓C的方程；
（2）證明：直線l與圓C恒相交；
（3）求直線l被圓C截得的最短弦長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法求出圓的方程．
（2）根據(jù)直線過定點（3，-1），而M（3，-1）在圓的內(nèi)部，從而得到直線l與圓C恒相交．
（3）圓心C（2，1），半徑為5，由題意知，當點M滿足CN垂直于直線l時，弦長最短，利用弦長公式求得結(jié)果．
解答：解：（1）設圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0． …（2分）
由條件，得，解得，
∴圓C的方程為x²+y²-4x-2y-20=0． …（6分）
（2）由（k-1）x+2y+5-3k=0，得k（x-3）-（x-2y-5）=0，
令，得，即直線l過定點M（3，-1），…（8分）
由3²+（-1）²-4×3-2×（-1）-20＜0，知點M（3，-1）在圓內(nèi)，
∴直線l與圓C恒相交．         …（10分）
（3）圓心C（2，1），半徑為5，由題意知，當點M滿足CM垂直于直線l時，弦長最短．
直線l被圓C截得的最短弦長為．…（14分）
點評：本題主要考查求圓的標準方程，直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，屬于中檔題．