Question

15．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AE⊥平面ABCD，EF∥CD，BC=CD=AE=EF=$\frac{1}{2}$AD=1．
（1）求證：CE∥平面ABF；
（2）在直線BC上是否存在點M，使二面角E-MD-A的大小為$\frac{π}{3}$？若存在，求出CM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）作 FG∥EA，AG∥EF，連結EG交AF于H，連結BH，BG，由題設條件推導出四邊形AEFG為正方形，從而得到CDAG為平行四邊形，由此能夠證明CE∥面ABF．
（Ⅱ）以A為原點，AG為x軸，AD為y軸，AE為z軸，建立空間直角坐標系A-xyz．利用向量法能夠求出結果．

解答 （I）證明：如圖，作 FG∥EA，AG∥EF，
連結EG交AF于H，連結BH，BG，
∵EF∥CD且EF=CD，
∴AG∥CD，即點G在平面ABCD內
由AE⊥平面ABCD，知AE⊥AG，
∴四邊形AEFG為正方形，
∴CDAG為平行四邊形，…（2分）
∴H為EG的中點，B為CG中點，∴BH∥CE，
∴CE∥面ABF．…（4分）
（Ⅱ）解：如圖，以A為原點，AG為x軸，AE為z軸，AD為y軸，
建立空間直角坐標系A-xyz．
由題意得：A（0，0，0），G（1，0，0），E（0，0，1），D（0，2，0），C（1，2，0）
設M（1，y₀，0），則$\overrightarrow{ED}=（0\;，\;\;2\;，\;\;-1）$，$\overrightarrow{DM}=（1，{y_0}-2，0）$，
設面EMD的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=2y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=x+（{y}_{0}-2）y=0}\end{array}\right.$，令y=1，得z=2，x=2-y₀，
∴$\overrightarrow{n}$=（2-y₀，1，2）．…（8分）
又∵$\overrightarrow{AE}⊥面\;AMD$，
∴$\overrightarrow{AE}=（0，\;\;0，\;\;1）$為面AMD的法向量，
∵二面角E-MD-A的大小為$\frac{π}{3}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AE}$＞|=|$\frac{2}{1×\sqrt{（2-{{y}_{0}）}^{2}+1+4}}$|=cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，
解得即$\sqrt{（2-{y}_{0}）^{2}+5}$=4，
平方得（2-y₀）²+5=16，
即（2-y₀）²=9，得y₀=-1（舍）或y₀=3．
∴在BC上存在點M，且|CM|=5-2=3，…（12分）

點評 本題考查直線與平面垂直的證明以及二面角的應用，考查直線與直線垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷，解題時要注意向量法的合理運用．利用向量法是解決本題的關鍵．