Question

7．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=1+2sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），直線l的參 數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcos45°\\ y=tsin45°\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（Ⅰ）求曲線C的極坐標方程；
（Ⅱ）求直線l截曲線C所得的弦長．

Answer 1

分析 （I）將曲線C的參數(shù)方程化為直角坐標方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標方程；
（II）將l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程解出參數(shù)，利用參數(shù)的幾何意義得出弦長．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的參數(shù)方程化為直角坐標方程為x²+（y-1）²=4．
令x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，
得曲線C的極坐標方程為：ρ²-2ρsinθ-3=0．
（Ⅱ）將 $\left\{\begin{array}{l}x=1+tcos45°\\ y=tsin45°\end{array}\right.$代入x²+（y-1）²=4得t²=2，∴${t_1}=\sqrt{2}，{t_2}=-\sqrt{2}$，
所以所求弦長為$|{{t_2}-{t_1}}|=2\sqrt{2}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題；