Question

已知函數(shù)f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）的定義域為R，
（1）當θ=0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若θ∈（0，π），且sinx≠0，當θ為何值時，f（x）為偶函數(shù)．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）當θ=0時，利用輔助角公式求出f（x）的表達式，即可求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）利用輔助角公式，求出函數(shù)f（x）的表達式，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）當θ=0時，f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，f（x）為遞增；
2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

，f（x）為遞減；
∴f（x）的遞增區(qū)間為[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，
f（x）的遞減區(qū)間為[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]，k∈Z；
（2）f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）=

2

sin（x+θ+

π

4

），
若f（x）為偶函數(shù)，則θ+

π

4

=

π

2

+kπ，
即有θ=

π

4

+kπ，k∈Z，
若θ∈（0，π），且sinx≠0，
∴當k=0時，θ=

π

4

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式求出函數(shù)f（x）的表達式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．