Question

已知

A

4 n

=40

C

5 n

，設(shè)f（x）=（x-

1

3 x

）ⁿ．
（1）求n的值；
（2）f（x）的展開式中的哪幾項(xiàng)是有理項(xiàng)（回答項(xiàng)數(shù)即可）；
（3）求f（x）的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）直接由已知

A

4 n

=40

C

5 n

，利用排列數(shù)公式、組合數(shù)公式求得 n的值．
（2）根據(jù)f（x）=（x-

1

3 x

）⁷ 的展開式的通項(xiàng)公式，可得r=0，3，6 時(shí)為有理項(xiàng)，從而得出結(jié)論．
（3）由于f（x）的展開式中第r+1項(xiàng)的系數(shù)為

C

r 7

•（-1）^r，可得展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)．

解答： 解：（1）由已知

A

4 n

=40

C

5 n

，可得n（n-1）（n-2）（n-3）=40•

n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)

5×4×3×2×1

，求得 n=7．
（2）f（x）=（x-

1

3 x

）⁷ 的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=

C

r 7

•（-1）^r•x7-

4r

3

，
令7-

4r

3

為整數(shù)，可得r=0，3，6，故第一項(xiàng)、第4項(xiàng)、第7項(xiàng)為有理項(xiàng)．
（3）由于f（x）的展開式中第r+1項(xiàng)的系數(shù)為

C

r 7

•（-1）^r，故當(dāng)r=4時(shí)，即第五項(xiàng)的系數(shù)最大；故當(dāng)r=3時(shí)，即第4項(xiàng)的系數(shù)最�。�

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．