Question

10．橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，則此橢圓上的點(diǎn)到直線2x-3y+6=0距離的最小值為$\frac{6-\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$．

Answer 1

分析 由橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，設(shè)P（2cosθ，sinθ）．θ∈[0，2π）．利用點(diǎn)到直線的距離公式與三角函數(shù)的值域即可得出．

解答 解：由橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，設(shè)P（2cosθ，sinθ）．θ∈[0，2π）．
則此橢圓上的點(diǎn)P到直線2x-3y+6=0距離=$\frac{|2cosθ-3sinθ+6|}{\sqrt{13}}$=$\frac{|\sqrt{13}sin（θ-φ）+6|}{\sqrt{13}}$≥$\frac{6-\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$，當(dāng)且僅當(dāng)sin（θ-φ）=-1時(shí)取等號(hào)．
故答案為：$\frac{6-\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．