Question

已知數(shù)列{a_n} 中a₁=2，點（a_n，a_n+1） 在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，n∈N^*．?dāng)?shù)列 {b_n} 的前n項和為S_n，且滿足b₁=1，當(dāng)n≥2時，S_n²=b_n（S_n-）
（1）證明數(shù)列{lg（1+a_n）}是等比數(shù)列；
（2）求S_n；
（3）設(shè)T_n=（1+a₁）（1+a₂）+…+（1+a_n），c_n=，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）點（a_n，a_n+1） 在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，得到關(guān)系式，通過對數(shù)運算，推出數(shù)列{lg（1+a_n）}是等比數(shù)列．
（2）利用數(shù)列 {b_n} 的前n項和為S_n，且滿足b₁=1，當(dāng)n≥2時，S_n²=bn（S_n-），推出為等差數(shù)列，然后求出S_n；
（3）利用（1）求出a_n，T_n，C_n，化簡，然后求出表達式的極限．
解答：解：（1）由已知可得a_n+1=a_n²+2a_n，
∴a_n+1+1=（a_n+1）²
∵a₁=2，∴a_n+1＞1，兩邊取對數(shù)得lg（1+a_n+1）=2lg（1+a_n），
即
∴數(shù)列{lg（1+a_n）}是公比為2的等比數(shù)列．
（2）當(dāng)n≥2時，S_n²=b_n（S_n-）=（S_n-S_n-1）（S_n-）
展開整理得：S_n-S_n-1=2S_nS_n-1，若S_n=0，則有b_n=0，則S₂=1+b₂≠0，矛盾，所以S_n≠0，
所以在等式兩側(cè)同除以S_nS_n-1得，
∴為等差數(shù)列
∴，
∴．
（3）由（1）知lg（1+a_n）=2^n-1•lg（1+a₁）=2^n-1•lg3=．
∴1+a_n=．
∴T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）===．
c_n===．
∴=
∴=．
點評：本題考查數(shù)列的判定，通項公式的求法，前n項和的求法，數(shù)列的極限的求法，考查計算能力．