Question

數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n-S_n-1=+（n≥2），a₁=1．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列．并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用平方差公式對題設中的等式化簡整理求得，進而根據等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列是一個首項為1公差為1的等差數(shù)列．進而根據首項和公差求得數(shù)列的通項公式，進而根據a_n=S_n-S_n-1求得a_n．
（2）把（1）中的a_n代入b_n，進而根據裂項法求得前n項的和，求得T_n=，進而利用推斷出，原式得證．
解答：解：（1）∵，（n≥2）
又b_n≥o，，∴，
又，所以數(shù)列是一個首項為1公差為1的等差數(shù)列．
，s_n=n²．
當n≥2，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；a₁=1適合上式，∴a_n=2n-1（n∈N）．
（2）=，
T_n=b₁+b₂++b_n
；
=
=
∵n∈N，∴，，，即．
點評：本題主要考查了等差關系的確定和數(shù)列的求和，數(shù)列和不等式的綜合運用．作為高考的必考內容，數(shù)列題常與不等式，函數(shù)等問題綜合考查，綜合性較強．