Question

10．已知雙曲線(xiàn)$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{2}$，且雙曲線(xiàn)與拋物線(xiàn)x²=-4$\sqrt{3}$y的準(zhǔn)線(xiàn)交于A，B，S_△OAB=$\sqrt{3}$，則雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 雙曲線(xiàn)$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{2}$，可得$\sqrt{2}$=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$，a=b．拋物線(xiàn)x²=-4$\sqrt{3}$y的準(zhǔn)線(xiàn)為：y=$\sqrt{3}$．代入雙曲線(xiàn)方程可得A，B的坐標(biāo)，|AB|．利用S_△OAB=$\sqrt{3}$即可得出．

解答 解：雙曲線(xiàn)$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$，可得a=b．
拋物線(xiàn)x²=-4$\sqrt{3}$y的準(zhǔn)線(xiàn)為：y=$\sqrt{3}$．
代入雙曲線(xiàn)方程可得：$\frac{3}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}=1$，
解得x=±$\sqrt{3-{a}^{2}}$．
∴|AB|=2$\sqrt{3-{a}^{2}}$．
∴S_△OAB=$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}|AB|$×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3-{a}^{2}}$×$\sqrt{3}$，
解得a²=2，
∴a=$\sqrt{2}$．
則雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式，考查了數(shù)形結(jié)合方法、計(jì)算能力，屬于中檔題．