Question

5．海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表：

時(shí)刻	2：00	5：00	8：00	11：00	14：00	17：00	20：00	23：00
水深（米）	7.5	5.0	2.5	5.0	7.5	5.0	2.5	5.0

經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，這個(gè)港口的水深與時(shí)間的關(guān)系，可近似用函數(shù)f（t）=Asin（ωt+ϕ）+b$（A，ω＞0，|ϕ|＜\frac{π}{2}）$來(lái)描述．
（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)f（t）=Asin（ωt+ϕ）+b的表達(dá)式；
（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4.25米，安全條例規(guī)定至少要有2米的安全間隙（船底與洋底的距離），該船在一天內(nèi)（0：00～24：00）何時(shí)能進(jìn)入港口然后離開(kāi)港口？每次在港口能停留多久？

Answer 1

分析 （1）由已知$A=\frac{{{f_{max}}-{f_{min}}}}{2}=\frac{5}{2}$，$b=\frac{{{f_{max}}+{f_{min}}}}{2}=5$，T=12，從而求出$ω=\frac{2π}{T}=\frac{π}{6}$，由此能求出函數(shù)f（t）=Asin（ωt+ϕ）+b的表達(dá)式．
（2）貨船需要的安全水深為4.25+2=6.25米，當(dāng)f（t）≥6.25時(shí)就可以進(jìn)港，由此能求出貨船可以在0時(shí)進(jìn)港，早晨4時(shí)出港；或在中午12時(shí)進(jìn)港，下午16時(shí)出港，每次可以在港口停留4小時(shí)左右．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）由表格知f_max=7.5，f_min=2.5，…（1分）
$A=\frac{{{f_{max}}-{f_{min}}}}{2}=\frac{5}{2}$，$b=\frac{{{f_{max}}+{f_{min}}}}{2}=5$…（2分）
T=12，∴$ω=\frac{2π}{T}=\frac{π}{6}$，…（4分）   
即$f（t）=\frac{5}{2}sin（\frac{π}{6}t+ϕ）+5$
當(dāng)t=2時(shí)，$\frac{π}{6}•2+ϕ=\frac{π}{2}+2kπ$，解得$ϕ=\frac{π}{6}+2kπ$，
又$|ϕ|＜\frac{π}{2}$，∴$ϕ=\frac{π}{6}$…（6分）
∴$f（t）=\frac{5}{2}sin（\frac{π}{6}t+\frac{π}{6}）+5$．
（2）貨船需要的安全水深為4.25+2=6.25米，
∴當(dāng)f（t）≥6.25時(shí)就可以進(jìn)港．…（7分）
令$\frac{5}{2}sin（\frac{π}{6}t+\frac{π}{6}）+5≥6.25$，得$sin（\frac{π}{6}t+\frac{π}{6}）≥\frac{1}{2}$…（8分）
∴$\frac{π}{6}+2kπ≤\frac{π}{6}t+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}+2kπ$，…（9分）
解得12k≤t≤4+12k，…（10分）
又t∈[0，24），故k=0時(shí)，t∈[0，4]；k=1時(shí)，t∈[12，16]…（11分）
即貨船可以在0時(shí)進(jìn)港，早晨4時(shí)出港；或在中午12時(shí)進(jìn)港，下午16時(shí)出港，每次可以在港口停留4小時(shí)左右．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三函數(shù)在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．