Question

已知函數(shù)f(x)=(m2-3)x

m+10

4

是冪函數(shù)，且圖象關(guān)于y軸對稱．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，求f^-1（x）并討論其單調(diào)性．

Answer 1

（Ⅰ）因?yàn)?span mathtag="math" >f(x)=(m2-3)x

m+10

4

是冪函數(shù)，
則m²-3=1，解得：m=±2．
當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=x³，圖象不關(guān)于y軸對稱，舍去；
當(dāng)m=-2時(shí)，f（x）=x²，滿足f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，
所以所求的函數(shù)解析式為f（x）=x²．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，由y=x²，得y≥0．
又由y=x²，得：x=

y

，
∴f-1(x)=

x

(x≥0)．
函數(shù)f-1(x)=

x

在[0，+∞）上是增函數(shù)．
事實(shí)上，在[0，+∞）任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁、x₂，且x₁＜x₂，
則f-1(x1)-f-1(x2)=

x1

-

x2

= ( x1 - x2 )( x1 + x2 ) x1 + x2 = x1-x2 x1 + x2 ，

∵0≤x₁＜x₂，∴x1-x2＜0，

x1

+

x2

＞0．
∴f-1(x1)-f-1(x2)＜0．即f-1(x1)＜f-1(x2)．
故f-1(x)=

x

在[0，+∞）上是增函數(shù)．