Question

1．已知二次函數(shù)f（x）=x²+ax+b圖象的對(duì)稱軸為x=$\frac{1}{2}$，且f（1）=0，數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（2n+1）-f（2n）-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的前30項(xiàng)和；
（2）若a_m，a_t（m，t∈N^*）是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，試判斷2a_m+3a_t是否是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求得二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程，可得a=-1，再由f（1）=0，可得b=0，進(jìn)而得到f（x），求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由前n項(xiàng)和的公式，計(jì)算可得；
（2）由題意可得a_m=4m-1，a_t=4t-1，2a_m+3a_t=8m-2+12t-3=8m+12t-5=4（2m+3t-1）-1，由整數(shù)的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）=x²+ax+b的對(duì)稱軸為x=-$\frac{a}{2}$，
由題意可得a=-1，1+a+b=0，解得b=0，
則f（x）=x²-x，
即有a_n=f（2n+1）-f（2n）-1=（2n+1）²-（2n+1）-（2n）²+2n-1=4n-1，
則數(shù)列{a_n}的前30項(xiàng)和為$\frac{1}{2}$×（3+120-1）×30=1830；
（2）由題意可得a_m=4m-1，a_t=4t-1，
2a_m+3a_t=8m-2+12t-3=8m+12t-5
=4（2m+3t-1）-1，
由m，t∈N^*，可得2m+3t-1∈N^*，
即有2a_m+3a_t是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸和解析式，考查等差數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查通項(xiàng)公式的運(yùn)用，以及整數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算和推理能力，屬于中檔題．