Question

已知函數(shù)f(x)=x³-x²+bx+c.

(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，求b的取值范圍;

(2)若f(x)在x=1處取得極值，且x∈［-1,2］時(shí)，f(x)＜c²恒成立，求c的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)x=時(shí)，g(x)_max=,∴b≥.

(2) c的取值范圍為（-∞，-1）∪（2，+∞）.

【解析】

試題分析：（1）解 （1）f′(x)=3x²-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，則f′(x)≥0.即3x²-x+b≥0,

∴b≥x-3x²在（-∞，+∞）恒成立.設(shè)g(x)=x-3x².  當(dāng)x=時(shí)，g(x)_max=,∴b≥.

(2)由題意知f′（1）=0，即3-1+b=0，∴b=-2.x∈［-1,2］時(shí)，f(x)＜c²恒成立，只需f(x)在［-1，2］上的最大值小于c²即可.

因f′(x)=3x²-x-2,令f′(x)=0,得x=1或x=-.∵f(1)=-+c,f()=+c,f(-1)=+c,f(2)=2+c.

∴f(x)_max=f(2)=2+c,∴2+c＜c².解得c＞2或c＜-1，所以c的取值范圍為（-∞，-1）∪（2，+∞）.

考點(diǎn)：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及不等式恒成立問(wèn)題。

點(diǎn)評(píng)：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問(wèn)題，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性，明確了極值情況。通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值情況，得到使不等式恒成立的參數(shù)范圍。不等式恒成立問(wèn)題的一般解法是，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值。