Question

17．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且點(diǎn)P（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）是橢圓M上一點(diǎn)，直線y=$\frac{1}{2}$x+m（m＜0）與橢圓M交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓M的方程；
（2）求證：△PAB的內(nèi)心在一條定直線上，并求出此定直線的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：2a=2•2b，$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}$=1，聯(lián)立解出即可得出．
（2）y=$\frac{1}{2}$x+m代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，求出PA，PB的斜率的和為0，進(jìn)而可得，∠APB的角平分線是平行于y軸的直線，由此可得結(jié)論．

解答 （1）解：由題意可得：2a=2•2b，$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}$=1，聯(lián)立解得b=1，a=2．
∴橢圓M的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
將y=$\frac{1}{2}$x+m代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1中，化簡(jiǎn)整理得2x²+4mx+4m²-4=0．
于是有x₁+x₂=-2m，x₁x₂=4m²-4，
k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{1}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{{x}_{1}-\sqrt{2}}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{{x}_{2}-\sqrt{2}}$
上式中，通分后分子=（y₁-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（x₂-$\sqrt{2}$）+（y₂-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（x₁-$\sqrt{2}$）
=x₁x₂+（m-$\sqrt{2}$）（x₁+x₂）-2$\sqrt{2}$m+2=0，
從而，k_PA+k_PB=0．
因此，∠APB的角平分線是平行于y軸的直線，
所以△PAB的內(nèi)切圓的圓心在直線x=$\sqrt{2}$上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．