Question

已知a為實數，．
（1）求證：對于任意實數a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函數；
（2）當f（x）是奇函數時，若方程f^-1（x）=log₂（x+t）總有實數根，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設x₁＞x₂，代入函數解析式利用指數函數的單調性求得f（x₁）-f（x₂）＞0，進而可知f（x₁）＞f（x₂）推斷出函數為增函數．
（2）利用f（x）是奇函數時，可推斷出f（0）=0求得a，進而求得f^-1（x）的解析式，利用題設等式求得t的表達式，最后利用基本不等式求得t的最小值，進而求得t的范圍．
解答：解：（1）設x₁＞x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=-+
∴x₁＞x₂，
∴＞
∴＜
∴f（x₁）-f（x₂）=-+＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函數f（x）在定義域上為增函數．
（2）因為f（x）是R上的奇函數，所以，
即a=1．
由得
當且僅當，即時等號成立，
所以，t的取值范圍是．
點評：本題主要考查了函數單調性的判斷和證明．一般是先設出定義域上的x₁＞x₂，根據f（x₁）和f（x₂）的大小來判斷函數的單調性．