Question

（1）已知橢圓

x2

36

+

y2

9

=1，求以點P（4，2）為中點的弦所在的直線方程．
（2）已知頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線被直線y=2x+1截得的弦長為

15

，求拋物線的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標準方程

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)點P（4，2）為中點的弦AB的A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，相減，再由中點坐標公式和斜率公式，求得斜率，進而得到直線方程，注意檢驗判別式；
（2）設(shè)出拋物線方程，聯(lián)立直線方程，消去y，運用韋達定理和弦長公式，解方程，即可得到拋物線方程，同時檢驗判別式是否大于0．

解答： 解：（1）設(shè)點P（4，2）為中點的弦AB的A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x12

36

+

y12

9

=1，

x22

36

+

y22

9

=1，兩式相減得，

(x1-x2)(x1+x2)

36

+

(y1-y2)(y1+y2)

9

=0，
由于x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，
則k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

8

4×4

=-

1

2

，
即有直線AB：y-2=-

1

2

（x-4），即y=-

1

2

x+4．
檢驗：將直線AB方程，代入橢圓方程，得到x²-8x+14=0，判別式為8大于0，成立．
故所求直線方程為：y=-

1

2

x+4；
（2）設(shè)頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線方程為：y²=mx，
聯(lián)立直線y=2x+1，消去y，得，4x²+（4-m）x+1=0，
判別式為（4-m）2-16＞0，解得，m＞8或m＜0．
設(shè)弦的端點為C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
則x₃+x₄=

m-4

4

，x₃x₄=

1

4

，
即有弦長CD=

1+4

•

(x3+x4)2-4x3x4

=

5

•

( m-4 4 )2-1

=

15

，
解得，m=12或-4．檢驗判別式大于0，成立．
則所求拋物線的方程為：y²=12x，或y²=-4x．

點評：本題考查橢圓方程和拋物線的方程的運用，考查解決中點弦問題的點差法，注意檢驗判別式是否大于0，考查聯(lián)立直線方程好額拋物線方程，消去未知數(shù)，運用韋達定理和弦長公式，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．