Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E是棱PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是PC的中點(diǎn)． （Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）若底面ABCD為正方形， ，求二面角C﹣AF﹣D大�。�

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連接BD，設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE，

∵四邊形ABCD為矩形，∴O是BD的中點(diǎn)，

∵點(diǎn)E是棱PD的中點(diǎn)，∴PB∥EO，

又PB平面AEC，EO平面AEC，

∴PB∥平面AEC．

（Ⅱ）由題可知AB，AD，AP兩兩垂直，

分別以 、 、 的方向?yàn)樽鴺?biāo)軸方向建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)由 可得AP=AB，

于是可令A(yù)P=AB=AD=2，則

A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F(xiàn)（1，1，1）

設(shè)平面CAF的一個(gè)法向量為 ．由于 ，

∴ ，解得x=﹣1，所以 ．

∵y軸平面DAF，∴設(shè)平面DAF的一個(gè)法向量為 ．

∵ ，∴ ，解得z=﹣1，

∴ ．

∴ ．∴二面角C﹣AF﹣D的大小為60°．

【解析】（Ⅰ）連接BD，設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE，推導(dǎo)出PB∥EO，由此能證明PB∥平面AEC．（Ⅱ）分別以 、 、 的方向?yàn)樽鴺?biāo)軸方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣D的大�。�
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行才能得出正確答案．