Question

（2013•北京）如圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染．某人隨機(jī)選擇3月1日至3月15日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天．

（Ⅰ）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；
（Ⅱ）設(shè)x是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）由圖判斷從哪天開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）

Answer 1

分析：（I）由題意此人隨機(jī)選擇某一天到達(dá)該城市且停留2天，因此他必須在3月1日至13日的某一天到達(dá)該城市，由圖可以看出期間有2天屬于重度污染，據(jù)此即可得到所求概率；
（II）由題意可知X所有可能取值為0，1，2．由圖可以看出在3月1日至14日屬于優(yōu)良天氣的共有7天．①當(dāng)此人在3月4號(hào)，5號(hào)，8號(hào)，9號(hào)，10號(hào)這5天的某一天到達(dá)該城市時(shí)，停留的2天都不是優(yōu)良天氣；②當(dāng)此人在3月3號(hào)，6號(hào)，7號(hào)，11號(hào)，這4天的某一天到達(dá)該城市時(shí)，停留的2天1不是優(yōu)良天氣1天是優(yōu)良天氣；③當(dāng)此人在3月1號(hào)，2號(hào)，12號(hào)，13號(hào)，這4天的某一天到達(dá)該城市時(shí)，停留的2天都是優(yōu)良天氣根據(jù)以上分析即可得出P（X=0），P（X=1），p（x=2）及分布列與數(shù)學(xué)期望．
（III）由圖判斷從3月5天開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)波動(dòng)最大，因此方差最大．

解答：解：（I）設(shè)“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”為事件A．
因?yàn)榇巳穗S機(jī)選擇某一天到達(dá)該城市且停留2天，因此他必須在3月1日至13日的某一天到達(dá)該城市，由圖可以看出期間有2天屬于重度污染，故P（A）=

2

13

．
（II）由題意可知X所有可能取值為0，1，2．
由圖可以看出在3月1日至14日屬于優(yōu)良天氣的共有7天．
①當(dāng)此人在3月4號(hào)，5號(hào)，8號(hào)，9號(hào)，10號(hào)這5天的某一天到達(dá)該城市時(shí)，停留的2天都不是優(yōu)良天氣，故P（X=0）=

5

13

；
②當(dāng)此人在3月3號(hào)，6號(hào)，7號(hào)，11號(hào)，這4天的某一天到達(dá)該城市時(shí)，停留的2天中的1天不是優(yōu)良天氣1天是優(yōu)良天氣，故P（X=1）=

4

13

；
③當(dāng)此人在3月1號(hào)，2號(hào)，12號(hào)，13號(hào)，這4天的某一天到達(dá)該城市時(shí)，停留的2天都是優(yōu)良天氣，故P（X=2）=

4

13

．
故X的分布列為

X	0	1	2
P	5 13	4 13	4 13

∴E（X）=0×

5

13

+1×

4

13

+2×

4

13

=

12

13

．
（III）由圖判斷從3月5天開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)波動(dòng)最大，因此方差最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正確理解題意及識(shí)圖的能力、古典概型的概率計(jì)算、隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望與方差，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法及審題與計(jì)算的能力．