Question

（2013•北京）如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為對(duì)角線BD₁的三等分點(diǎn)，P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有（　�。�

A．3個(gè)

B．4個(gè)

C．5個(gè)

D．6個(gè)

Answer 1

分析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)|AB|=3，即可得到各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出．

解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)|AB|=3，
則A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A₁（3，0，3），B₁（3，3，3），C₁（0，3，3），D₁（0，0，3），
∴

BD1

=（-3，-3，3），設(shè)P（x，y，z），∵

BP

=

1

3

BD1

=（-1，-1，1），∴

DP

=

DB

+(-1，-1，1)=（2，2，1）．
∴|PA|=|PC|=|PB₁|=

12+22+12

=

6

，
|PD|=|PA₁|=|PC₁|=

22+22+12

=3，
|PB|=

3

，
|PD₁|=

22+22+22

=2

3

．
故P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有

6

，3，

3

，2

3

共4個(gè)．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系及兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵．