Question

若?k∈[-

2

2

，

2

2

]使a（1+k²）≤|k|

1-k2

成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，0]
• B、（-∞，

  1

  4

  ]
• C、（-∞，

  2

  4

  ]
• D、（-∞，

  2

  8

  ]

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：依題意，可將所求的不等式化為a≤

k2(1-k2)

1+k2

=f（k），k²∈[0，

1

2

]，?k∈[-

2

2

，

2

2

]使不等式成立，只需求出f（k）的最大值．構(gòu)造函數(shù)1+k²=t，由f（k）=

-2( 1 t - 3 4 )2+ 1 8

即可求得f（x）_max，從而可得答案．

解答： 解：原不等式可化為a≤

k2(1-k2)

1+k2

=f（k），k²∈[0，

1

2

]，
?k∈[-

2

2

，

2

2

]使不等式成立，
所以，只需求出f（k）的最大值．
令1+k²=t，f（k）=

(t-1)(2-t) t2

=

- 2 t2 + 3 t -1

=

-2( 1 t - 3 4 )2+ 1 8

，
因為t∈[1，

3

2

]，

1

t

∈[

2

3

，1]，
顯然，當

1

t

=

3

4

時，f（x）_max=

1 8

=

2

4

，
所以，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，

2

4

]，
故選：C．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，分離參數(shù)a是關(guān)鍵，考查等價轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，考查二次函數(shù)的配方法求最值，屬于難題．