Question

【題目】已知函數(shù)，直線.

（1）若直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求公共點(diǎn)橫坐標(biāo)的值；

（2）若，求證： .

Answer 1

【答案】（1）公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為和；（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：

(1)利用題意分類討論 和 可得公共點(diǎn)橫坐標(biāo)的值為和；

(2)利用不等式的特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合新函數(shù)的特點(diǎn)和題意可得結(jié)論成立.

試題解析：

解：（1）由，得，

易知時(shí)， 單調(diào)遞減， 時(shí)， 單調(diào)遞增，

根據(jù)直線的方程，可得恒過(guò)點(diǎn)，

①當(dāng)時(shí)，直線垂直軸，與曲線相交于一點(diǎn)，即焦點(diǎn)橫坐標(biāo)為；

②當(dāng)時(shí)，設(shè)切線，直線可化為，斜率，

又直線和曲線均過(guò)點(diǎn)，則滿足，

所以，兩邊約去后，

可得，化簡(jiǎn)得，

切點(diǎn)橫坐標(biāo)，綜上所述，由①和②可知，該公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為和；

（2）①若時(shí)，欲證，

由題意，由問(wèn)可知在上單調(diào)遞減，證對(duì)恒成立即可.

設(shè)函數(shù)，則，

即，

設(shè)，則，

易知時(shí)， 單調(diào)遞減， 時(shí)， 單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，有，且滿足，故，

即，又，則，

所以在上單調(diào)遞減，有，

即，所以.