【題目】如圖,點在以為直徑的圓上,垂直與圓所在平面,為的垂心.
(1)求證:平面平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2) .
【解析】試題分析:(1)延長交于點,由重心性質(zhì)及中位線性質(zhì)可得,再結(jié)合圓的性質(zhì)得,由已知,可證 平面,進一步可得平面平面(2)以點為原點, , , 方向分別為, , 軸正方向建立空間直角坐標系,寫出各點坐標,利用二面角與二個半平面的法向量的夾角間的關(guān)系可求二面角的余弦值.
試題解析:(1)如圖,延長交于點.因為為的重心,所以為的中點.
因為為的中點,所以.因為是圓的直徑,所以,所以.
因為平面, 平面,所以.又平面, 平面= ,所以 平面.即平面,又平面,所以平面 平面.
(2)以點為原點, , , 方向分別為, , 軸正方向建立空間直角坐標系,則, , , , , ,則, .平面即為平面,設(shè)平面的一個法向量為,則令,得.過點作于點,由平面,易得,又,所以平面,即為平面的一個法向量.
在中,由,得,則, .
所以, .所以.
設(shè)二面角的大小為,則 .
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【題目】四面體ABCD中,AB和CD為對棱.設(shè)AB=a,CD=b,且異面直線AB與CD間的距離為d,夾角為θ.
(Ⅰ)若θ= ,且棱AB垂直于平面BCD,求四面體ABCD的體積;
(Ⅱ)當(dāng)θ= 時,證明:四面體ABCD的體積為一定值;
(Ⅲ)求四面體ABCD的體積.
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)如果且關(guān)于的方程有兩解, (),證明.
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【題目】若直線ax﹣by+2=0(a>0,b>0)被圓x2+y2+4x﹣4y﹣1=0所截得的弦長為6,則 的最小值為( )
A.10
B.
C.
D.
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【題目】一個路口的紅綠燈,紅燈亮的時間為40秒,黃燈亮的時間為5秒,綠燈亮的時間為50秒(沒有兩燈同時亮),當(dāng)你到達路口時,看見下列三種情況的概率各是多少?
(1)紅燈;
(2)黃燈;
(3)不是紅燈.
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【題目】已知D是以點A(4,1),B(﹣1,﹣6),C(﹣2,3)為頂點的三角形區(qū)域(包括邊界及內(nèi)部).
(1)寫出表示區(qū)域D的不等式組;
(2)設(shè)點B(﹣1,﹣6)、C(﹣2,3)在直線4x﹣3y﹣a=0的異側(cè),求a的取值范圍;
(3)若目標函數(shù)z=kx+y(k<0)的最小值為﹣k﹣6,求k的取值范圍.
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【題目】20名同學(xué)參加某次數(shù)學(xué)考試成績(單位:分)的頻率分布直方圖如下:
(Ⅰ)求頻率分布直方圖中的值;
(Ⅱ)分別求出成績落在, 中的學(xué)生人數(shù);
(Ⅲ)從成績在的學(xué)生中任選2人,求此2人的成績都在中的概率.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知橢圓過點, , 分別為橢圓的右、下頂點,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點在橢圓內(nèi),滿足直線, 的斜率乘積為,且直線, 分別交橢圓于點, .
(i) 若, 關(guān)于軸對稱,求直線的斜率;
(ii) 求證: 的面積與的面積相等.
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