Question

 設(shè)函數(shù)（），．

(1) 若函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線距離的最小值為，求的值；

(2) 關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3) 對(duì)于函數(shù)與定義域上的任意實(shí)數(shù)，若存在常數(shù)，使得和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”．設(shè)，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）因?yàn)?sub>，所以，令

得：，此時(shí)，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………2分

則點(diǎn)到直線的距離為，

即，解之得．　　　　　　　　　　　…………4分

（2）解法一：不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，

等價(jià)于恰有三個(gè)整數(shù)解，故，　　　　　　…………6分

令，由且，

所以函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間，

則另一個(gè)零點(diǎn)一定在區(qū)間，　　　　　　　　　　　　　　　　　…………8分

故解之得．　　　　　　　　　　　　　　　　　…………10分

解法二：恰有三個(gè)整數(shù)解，故，即，…………6分

，

所以，又因?yàn)?sub>，　　　　　　　　　　　…………8分

所以，解之得．　　　　　　　　　　　…………10分

（3）設(shè)，則．

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

因此時(shí)，取得最小值，

則與的圖象在處有公共點(diǎn)．　　　　　　　…………12分

設(shè)與存在 “分界線”，方程為，

即，

由在恒成立，則在恒成立 ．

所以成立，

因此．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………14分

下面證明恒成立．

 設(shè)，則．

 所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

因此時(shí)取得最大值，則成立．

故所求“分界線”方程為：．　　　　　　　　　　　　…………16分