Question

已知函數(shù)f(x)＝ae^x，g(x)＝lnx－lna，其中a為常數(shù)， e＝2.718…，且函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)的圖像在它們與坐標軸交點處的切線互相平行．

(1)求常數(shù)a的值；

(2)若存在x使不等式>成立，求實數(shù)m的取值范圍；

(3)對于函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)公共定義域內(nèi)的任意實數(shù)x₀，我們把|f(x₀)－g(x₀)|的值稱為兩函數(shù)在x₀處的偏差．求證：函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）參考解析

【解析】

試題分析：（1）依題意可得函數(shù)與坐標軸的交點通過求導函數(shù)即在兩坐標軸的交點的切線的斜率相等即可求出的值.

（2）不等式恒成立的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.在對函數(shù)求導求出在定義域上的單調(diào)性即可求出m的取值范圍.

（3）本小題是把不等式的問題轉(zhuǎn)化為一個新的函數(shù)的最問題. 由于.對該函數(shù)直接研究存在困難.求導后不能得到所需要的結(jié)論.所以構(gòu)造新函數(shù)從而得到.再構(gòu)造一個函數(shù)得到lnx+1<x.從而得到偏差要大于2的結(jié)論.本小題的解法較特殊.構(gòu)造兩個函數(shù)額是解題的關鍵和突破口，同時既有創(chuàng)新思維.

試題解析：（1）f(x)與坐標軸的交點為(0,). . g(x)與坐標軸的交點為(,0). .所以.所以.又因為>0.所以.

（2）因為可化為.令.則.因為x>0.所以..所以.故.所以在上是減函數(shù).因此.所以實數(shù)m的取值范圍是.

（3）y=f(x)與y=g(x)的公共定義域為..令.則>0.所以h(x)在上是增函數(shù).故h(x)>h(0)=0.即…①.令.則.當x>1.時. .當0<x<1時. .所以m(x)有最大值m(1)=0.因此lnx+1<x…②.由①②得.即.所以函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2.

考點：1.導數(shù)的幾何意義.2.不等式轉(zhuǎn)化為恒成立問題.3.函數(shù)的構(gòu)造.