Question

如圖示，AB是圓柱的母線，BD是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上一點(diǎn)，E是AC中點(diǎn)，且AB=BC=2，∠CBD=45°．
（1）求證：CD⊥面ABC；
（2）求直線BD與面ACD所成角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圓的直徑所對(duì)圓周角的性質(zhì)、圓柱的性質(zhì)、線面垂直的判定定理即可得出；
（2）利用線面垂直的判定和性質(zhì)、線面角的定義即可得出．
解答：（1）證明：∵BD是底面圓的直徑，∴∠BCD=90°，∴CD⊥BC；
由圓柱可得：母線AB⊥底面BCD，∴AB⊥CD；
又AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．
（2）連接DE，由（1）可知：CD⊥BE．
∵E是AC的中點(diǎn)，AB=BC，∠ABC=90°．
∴BE⊥AC，
又AC∩CD=C，∴BE⊥平面ACD．
∴∠BDE是直線BD與面ACD所成的角．
在Rt△ABC中，AB=BC=2，AE=EC，∴BE==，
在Rt△BCD中，BC=2，∠CBD=45°，∴．
由BE⊥平面ACD，∴BE⊥ED，即∠BED=90°．
∴，
又∠BDE是銳角，∴∠BDE=30°．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握?qǐng)A的直徑所對(duì)圓周角的性質(zhì)、圓柱的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、線面垂直的判定和性質(zhì)、線面角的定義是解題的關(guān)鍵．