Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a₁=2，na_n+1=S_n+n（n+1），{b_n}為等比數(shù)列，且b₁=1，b₄=

1

27

．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．
（3）求和：M_n=

1

2a1

+

1

3a2

+…+

1

(n+1)an

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項公式,等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式即可求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）由題意知c_n=a_nb_n=2n•(

1

3

)n-1，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n；
（3）由

1

(n+1)an

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂項相消法即可求出結論．

解答： 解：（1）∵na_n+1=S_n+n（n+1）
∴（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1）（n≥2）
兩式相減可得，na_n+1-（n-1）a_n=S_n-S_n-1+2n
即na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，（n≥2）
整理可得，a_n+1=a_n+2（n≥2）（*）
由a₁=2，可得a₂=S₁+2=4，a₂-a₁=2適合（*）
故數(shù)列{a_n}是以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式可得，a_n=2+（n-1）×2=2n，
∵{b_n}為等比數(shù)列，且b₁=1，b₄=

1

27

，
∴q³=

1

27

，∴q=

1

3

，
∴b_n=1•(

1

3

)n-1=(

1

3

)n-1．
（2）c_n=a_nb_n=2n•(

1

3

)n-1，
∴T_n=2•(

1

3

)0+4•(

1

3

)1+6•(

1

3

)2+…+2n•(

1

3

)n-1，

1

3

T_n=2•(

1

3

)1+4•(

1

3

)2+6•(

1

3

)3+…+2（n-1）•(

1

3

)n-1+2n•(

1

3

)n，
兩式相減得

2

3

T_n=2•(

1

3

)0+2•(

1

3

)1+2•(

1

3

)2+…+2•(

1

3

)n-1-2n•(

1

3

)n=2•

1-( 1 3 )n

1- 1 3

-2n•(

1

3

)n，
∴T_n=

9

2

-（

9

2

+3n）•(

1

3

)n．
（3）∵

1

(n+1)an

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴M_n=

1

2a1

+

1

3a2

+…+

1

(n+1)an

=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

2

（1-

1

n+1

）=

n

2(n+1)

．

點評：本題考查等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要注意錯位相減法和裂項相消法的合理運用；考查學生綜合問題的分析問題解決問題的能力及運算求解能力，屬難題．