Question

15．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，（n+1）a²_n+1+a_n+1a_n-na${{\;}_{n}}^{2}$=0，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n且S_n=1-b_n．
（1）求{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)；
（2）令c_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，
①求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n；
②是否存在正整數(shù)m滿足m＞3，c₂，c₃，c_m成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出m；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）（n+1）a²_n+1+a_n+1a_n-na${{\;}_{n}}^{2}$=0，因式分解為[（n+1）a_n+1-na_n]（a_n+1+a_n）=0，又a_n+1+a_n＞0．可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$．利用a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁，可得a_n．?dāng)?shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n且S_n=1-b_n．n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1，化為：b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1．n=1時(shí)，b₁=S₁=1-b₁，解得b₁．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出b_n．
（2）①c_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用錯(cuò)位相減法與等比數(shù)列的求和公式即可得出．
②假設(shè)存在正整數(shù)m滿足m＞3，c₂，c₃，c_m成等差數(shù)列，2c₃=c₂+c_m，代入化為：2^m-2=m．對(duì)m分類討論即可得出．

解答 解：（1）∵（n+1）a²_n+1+a_n+1a_n-na${{\;}_{n}}^{2}$=0，∴[（n+1）a_n+1-na_n]（a_n+1+a_n）=0，又a_n+1+a_n＞0．
∴（n+1）a_n+1-na_n=0，解得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁=$\frac{n-1}{n}$$•\frac{n-2}{n-1}$•$\frac{n-3}{n-2}$•…•$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{n}$．
∴a_n=$\frac{1}{n}$．
∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n且S_n=1-b_n．
∴n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=1-b_n-（1-b_n-1），化為：b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1．
n=1時(shí)，b₁=S₁=1-b₁，解得b₁=$\frac{1}{2}$．
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為$\frac{1}{2}$．
∴b_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
（2）①c_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
可得：$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}×[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
可得：S_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．
②假設(shè)存在正整數(shù)m滿足m＞3，c₂，c₃，c_m成等差數(shù)列，
則2c₃=c₂+c_m，
∴$\frac{6}{{2}^{3}}$=$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{m}{{2}^{m}}$，化為：2^m-2=m．
m=4時(shí)，滿足：2^m-2=m．
m≥5時(shí)，2^m-2-m=（1+1）^m-2-m
=1+${∁}_{m-2}^{1}$+${∁}_{m-2}^{2}$+${∁}_{m-2}^{3}$+…-m
=1+m-2+$\frac{（m-2）（m-3）}{2}$+${∁}_{m-2}^{3}$+…-m
=$\frac{（m-2）（m-3）}{2}$+${∁}_{m-2}^{3}$+…-1＞0．
∴m≥5時(shí)，2^m-2-m＞0，因此2^m-2=m無(wú)解．
綜上只有m=4時(shí)，滿足m＞3，c₂，c₃，c_m成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、累積方法、方程的解法、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．