Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax，x∈R．
（1）a=-2時，求證：函數(shù)f（x）不是單調(diào)函數(shù)；
（2）a=0時，求證：函數(shù)f（x）是增函數(shù)；  
（3）若函數(shù)f（x）是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，即可得證；（2）運用導數(shù)恒大于等于0，即可得證；
（3）求出導數(shù)，由條件即有f′（x）≥0在R上恒成立，運用參數(shù)分離，求出右邊的最小值即可．

解答： （1）證明：f（x）=x³-2x的導數(shù)f′（x）=3x²-2，
則當x＞

6

3

或x＜-

6

3

時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當-

6

3

＜x＜

6

3

時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有函數(shù)f（x）在R上不是單調(diào)函數(shù)；
（2）證明：a=0時，f（x）=x³，
導數(shù)f′（x）=3x²≥0，恒成立，
則有f（x）在R上遞增；
（3）解：函數(shù)f（x）=x³+ax的導數(shù)f′（x）=3x²+a，
由于函數(shù)f（x）是增函數(shù)，則f′（x）≥0在R上恒成立，
即有-a≤3x²恒成立，由于3x²≥0，
則有-a≤0，即a≥0．
故實數(shù)a的取值范圍是[0，+∞）．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，以及已知單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)的范圍，考查運算能力，屬于中檔題．