Question

16．利用導(dǎo)數(shù)的定義證明奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)．

Answer 1

分析 方法1（定義法）：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的極限定理，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行證明即可；方法2：公式法，利用函數(shù)奇偶性的定義與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式證明．

解答 證明：方法1（定義法）：設(shè)f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），
∵f′（x）=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（x+△x）-f（x）}{△x}$，
∴f′（-x）=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（-x+△x）-f（-x）}{△x}$=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{-f（x-△x）+f（x）}{△x}$=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（x-△x）-f（x）}{-△x}$=f′（x），
即f′（x）是偶函數(shù)，
同理，若f（x）是；偶函數(shù)，則f′（x）奇函數(shù)
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x），
則f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函數(shù)．
若f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）=f（-x），
則f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的證明和判斷，利用導(dǎo)數(shù)的定義結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．