Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

2

x²+x-4
（1）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，求f（x）的值域；
（2）若f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求f（x）在區(qū)間[-2，t]（t＞-2）上的最小值g（t）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）易得f（x）在x∈[-2，-1]單調(diào)遞減，在x∈[-1，2]單調(diào)遞增，可得最值，可得答案；
（2）要使f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上不單調(diào)，只需2a＜-1＜a+1，解不等式可得；
（3）分類討論：當(dāng)-2＜t≤-1時(shí)，f（x）_min=f（t）=

1

2

t²+t-4，當(dāng)t＞-1時(shí)，f（x）_min=f（-1）=-

9

2

，綜合可得．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

x²+x-4=

1

2

（x+1）²-

9

2

，
其圖象為開口向上的拋物線，且對(duì)稱軸為x=-1，
∴f（x）在x∈[-2，-1]單調(diào)遞減，在x∈[-1，2]單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（-1）=-

9

2

，f（x）_max=f（2）=0，
∴f（x）值域?yàn)椋篬-

9

2

，0]；
（2）要使f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上不單調(diào)，
只需2a＜-1＜a+1，解得-2＜a＜-

1

2

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-2，-

1

2

）；
（3）當(dāng)-2＜t≤-1時(shí)，f（x）在[-2，t]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（t）=

1

2

t²+t-4，
當(dāng)t＞-1時(shí)，f（x）_min=f（-1）=-

9

2

，
∴g（t）=

1 2 t2+t-4，-2＜t≤-1 - 9 2 ，t＞-1

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及函數(shù)的單調(diào)性和分類討論的思想，屬基礎(chǔ)題．