Question

（2013•鄭州一模）如圖，△ABC是等腰直角三角形∠ACB=90°，AC=2a，D，E分別為AC，AB的中點，沿DE將△ADE折起，得到如圖所示的四棱錐A′-BCDE
（Ⅰ）在棱A′B上找一點F，使EF∥平面A′CD；
（Ⅱ）當四棱錐A'-BCDE體積取最大值時，求平面A′CD與平面A′BE夾角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取A'C的中點G，連結(jié)DG、EF、GF．運用中位線定理證出四邊形DEFG是平行四邊形，從而得到EF∥DG，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證出EF∥平面A'CD．因此可得當F為棱A'B的中點時，EF∥平面A′CD；
（II）在平面A′CD內(nèi)作A'H⊥CD于點H，利用線面垂直的判定與性質(zhì)，證出A'H⊥底面BCDE，從而得到點H和D重合時，四棱錐A'-BCDE體積取最大值．然后以DC、DE、DA'所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖，給出A'、B、E的坐標，從而算出

A′B

、

A′E

的坐標，利用垂直向量數(shù)量積為零建立方程組，解出

m

=（-，1，1）是平面A'BE的一個法向量；同理解出平面A'CD的一個法向量

n

=（0，1，0）．最后利用空間向量的夾角公式算出

m

、

n

夾角的余弦值，結(jié)合圖形即可得到四棱錐A'-BCDE體積取最大值時平面A′CD與平面A′BE夾角的余弦值．

解答：解：（I）當F為棱A'B的中點時，EF∥平面A′CD．證明如下：
取A'C的中點G，連結(jié)DG、EF、GF，則
由中位線定理得DE∥BC、DE=

1

2

BC，且F∥BC、GF=

1

2

BC．
∴DE∥GF且DE=GF，可得四邊形DEFG是平行四邊形，
∴EF∥DG
∵EF?平面A'CD，DG?平面A'CD，∴EF∥平面A′CD
因此，當F為棱A'B的中點時，EF∥平面A′CD．----（4分）
（II）在平面A′CD內(nèi)作A'H⊥CD于點H，
∵DE⊥A'D，DE⊥CD，且A'D∩CD=D
∴DE⊥平面A'CD，可得A'H⊥DE，
又∵DE∩CD=D，∴A'H⊥底面BCDE，即A'H就是四棱錐A'-BCDE的高．
由A'H≤AD，得點H和D重合時，四棱錐A'-BCDE體積取最大值．--（8分）
分別以DC、DE、DA'所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖，
則A'（0，0，a），B（a，2a，0），E（0，a，0），
∴

A′B

=（a，2a，-a），

A′E

=（0，a，-a），
設(shè)平面A'BE的一個法向量為

m

=（x，y，z），
由

m • A′B =ax+2ay-az=0 m • A′E =ay-az=0

得

x+2y-z=0 y=z

取y=1，得x=-1，z=1．得到

m

=（-，1，1），
同理，可求得平面A'CD的一個法向量

n

=（0，1，0）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

|m| • |n|

=

-1×0+1×1+1×0

3 ×1

=

3

3

故平面A'CD與平面A'BE夾角的余弦值為

3

3

綜上所述，四棱錐A'-BCDE體積取最大值時，平面A′CD與平面A′BE夾角的余弦值等于

3

3

----（12分）

點評：本題給出平面圖形的折疊，求證線面平行并求四棱錐A'-BCDE體積取最大值時，平面A′CD與平面A′BE夾角的余弦值．著重考查了三角形中位線定理、線面平行的判定定理和利用空間向量的方法研究平面與平面所成角等知識，屬于中檔題．