Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且PA=PB=PC=PD，F(xiàn)為PC中點(diǎn)．
（1）在圖中過F求作一平面與PA平行，并說明理由；
（2）求證：面PBD⊥面PAC；
（3）若PA=2AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連BF、DF，設(shè)AC交BD于O，平面FBD即為所求平面．
（2）由已知得PO⊥平面ABCD，從而AC⊥PO，AC⊥BD，由此能證明面PBD⊥面PAC．
（3）在△PAB中，作AN⊥PB于N，連結(jié)CN，由已知得∠ANC為二面角A-PB-C的平面角，由此能求出二面角A-PB-C的余弦值．

解答： 解：（1）連BF、DF，設(shè)AC交BD于O，
∵OF∥PA，OF?面PBD，PA不包含于面FBD，
∴PA∥平面FBD，
∴平面FBD即為所求平面．
（2）證明：∵PO⊥AC，PO⊥BD，AC∩BD=O，
∴PO⊥平面ABCD，
AC⊥PO，AC⊥BD，PO∩BD=0，
∴AC⊥PBD，又AC?面PAC，
∴面PBD⊥面PAC．
（3）解：在△PAB中，作AN⊥PB于N，連結(jié)CN，
∵△PAB≌△PBC，∴CN⊥PB，
∴∠ANC為二面角A-PB-C的平面角，
設(shè)BC=2，則PC=4，
∴在△PAB中，AN=

15

2

，同理，CN=

15

2

，
又∵AC=2

2

，
∴在△ANC中，cos∠ANC=

15 2 -8

2× 15 4

=-

1

15

，
∴二面角A-PB-C的余弦值為-

1

15

．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．