Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C： =1，設(shè)R（x0 ， y0）是橢圓C上的任一點(diǎn)，從原點(diǎn)O向圓R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)P，Q．

（1）若直線OP，OQ互相垂直，求圓R的方程；
（2）若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1 ， k2 ， 求證：2k1k2+1=0；
（3）試問OP2+OQ2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由圓R的方程知，圓R的半徑的半徑 ，

因?yàn)橹本�OP，OQ互相垂直，且和圓R相切，

所以 ，即 ，①

又點(diǎn)R在橢圓C上，所以 ，②

聯(lián)立①②，解得 …（3分）

所以所求圓R的方程為

（2）解：因?yàn)橹本�OP：y=k1x，OQ：y=k2x，與圓R相切，

所以 ，化簡得 =0

同理 ，

所以k1，k2是方程（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+y02﹣8=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

因?yàn)辄c(diǎn)R（x0，y0）在橢圓C上，所以 ，即 ，

所以 ，即2k1k2+1=0

（3）解：OP2+OQ2是定值，定值為36，

理由如下：

法一：（i）當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），

聯(lián)立 解得

所以 ，同理，得 ，

由 ，

所以 = = = =36

（ii）當(dāng)直線ξ落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有OP2+OQ2=36，

綜上：OP2+OQ2=36． …（16分）

法二：（i）當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），

因?yàn)?k1k2+1=0，所以 ，即 ，

因?yàn)镻（x1，y1），Q（x2，y2），在橢圓C上，所以 ，

即 ，

所以 ，整理得 ，

所以 ，

所以O(shè)P2+OQ2=36．

（ii）當(dāng)直線OP，OQ落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有OP2+OQ2=36，

綜上：OP2+OQ2=36

【解析】（1）通過直線OP，OQ互相垂直，以及點(diǎn)的坐標(biāo)適合橢圓方程，求出圓的圓心，然后求圓R的方程；（2）因?yàn)橹本�OP：y=k1x，OQ：y=k2x，與圓R相切，推出k1 ， k2是方程 =的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理推出k1k2 ． 結(jié)合點(diǎn)R（x0 ， y0）在橢圓C上，證明2k1k2+1=0．（3）OP2+OQ2是定值，定值為36，理由如下：
法一：（i）當(dāng)直線ξ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），
聯(lián)立 ，推出 ， ，由 ，求出OP2+OQ2是定值．
（ii）當(dāng)直線落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有OP2+OQ2=36．
法二：（i）當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），通過2k1k2+1=0，推出 ，利用P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），在橢圓C上，聯(lián)立 ，推出OP2+OQ2=36．即可．