Question

若|x|≤

π

4

，且f（x）=cos²x-acosx的最小值為-

1

4

，求a的值

 

．

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：三角函數的求值

分析：由題意可得

2

2

cosx≤1，f（x）=(cosx-

a

2

)2-

a2

4

，再根據f（x）的最小值為-

1

4

，利用二次函數的性質分類討論求得a的值．

解答： 解：由|x|≤

π

4

，可得

2

2

≤cosx≤1，又f（x）=cos²x-acosx=(cosx-

a

2

)2-

a2

4

，
∴當

a

2

＜

2

2

時，則由f（x）的最小值為(

2

2

-

a

2

)2-

a2

4

=-

1

4

，求得a=

3 2

4

；
當

a

2

∈[

2

2

，1]時，則由f（x）的最小值為-

a2

4

=-

1

4

，求得a=1，或 a=-1（舍去）；
當

a

2

＞1時，則由f（x）的最小值為1-a=-

1

4

，求得a=

5

4

（舍去）．
綜上可得，a=

3 2

4

，或a=1，
故答案為：

3 2

4

，或1．

點評：本題主要考查余弦函數的定義域和值域，二次函數在閉區(qū)間上的最值，二次函數的性質的應用，體現(xiàn)了分類討論、轉化的數學思想，屬中檔題．