Question

在研究關(guān)于曲線C：

x4

16

-y²=1的性質(zhì)過(guò)程中，有同學(xué)得到了如下結(jié)論①曲線C關(guān)于原點(diǎn)、x，y軸對(duì)稱 ②曲線C的漸近線為y=±

x

2

 ③曲線C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為（-2，0），（2，0）④曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最近距離為2．上述判斷正確的編號(hào)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,簡(jiǎn)易邏輯

分析：類比雙曲線的性質(zhì)，分別對(duì)命題進(jìn)行判斷即可．

解答： 解：①∵

(-x)4

16

-(-y)2=

x4

16

-y²=1，∴關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)也在曲線上，
∴曲線C關(guān)于原點(diǎn)、x，y軸對(duì)稱，正確；
②代入方程得到交點(diǎn)，故y=±

x

2

非漸近線，故曲線C的漸近線為y=±

x

2

錯(cuò)誤．
 ③當(dāng)y=0時(shí)，由

x4

16

-y²=1得

x4

16

=1，解得x=±2，
即曲線C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為（-2，0），（2，0），正確，
④設(shè)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為P（x，y），則|OP|²=x²+y²=x²+

x4

16

-1=

1

16

（x⁴+16x²）-1=

1

16

[（x²+8）²）+
由

x4

16

-y²=1得

x4

16

-1=y²≥0，解得x≥2或x≤2，
即曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最近距離為2．故④正確，
故判斷正確的編號(hào)為①③④，
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與雙曲線有關(guān)的命題的真假判斷，類比雙曲線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的推理能力．