Question

5．已知函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）
（1）如圖，當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，設(shè)A，B，C是函數(shù)f（x）=log_ax的圖象上的三點，它們的橫坐標(biāo)分別是t，t+2，t+4（t≥1），記△ABC的面積為S，求S=g（t）的解析式，并求S=g（t）的最大值；
（2）試比較$\frac{1}{2}$f（x）與f（$\frac{x+1}{2}$）的大小；
（3）當(dāng)a=10時，設(shè)F（x）=|f（x）|，且滿足F（x）=F（t）=2F（$\frac{x+t}{2}$）（0＜x＜t），問是否存在實數(shù)t，使得3＜t＜4．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象，將三角形的面積轉(zhuǎn)化為S_△ABC=g（t）=S_梯形AA1B1B+S_梯形BB1C1C-S_梯形AA1C1C求解；
（2）分類討論比較函數(shù)值大小；
（3）轉(zhuǎn)為函數(shù)H（t）=$t+\frac{1}{t}-2\sqrt{t}$在（3，4）之間是否有零點問題．

解答 解：（1）過A，B，C，分別作AA₁，BB₁，CC₁垂直于x軸，垂足為A₁，B₁，C₁，如右圖：
則S_△ABC=g（t）=S_梯形AA1B1B+S_梯形BB1C1C-S_梯形AA1C1C，其中a=$\frac{1}{2}$，所以A，B，C各點縱坐標(biāo)為負(fù)，
=（-$\frac{1}{2}$）[$lo{g}_{\frac{1}{2}}$t+$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（t+2）]×2+（-$\frac{1}{2}$）[$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（t+2）+log_a（t+4）]×2-（-$\frac{1}{2}$）[$lo{g}_{\frac{1}{2}}$t+$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（t+4）]×4
=-$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{（t+2）^{2}}{t（t+4）}$=log₂（1+$\frac{4}{{t}^{2}+4t}$）（t≥1），
故當(dāng)t=1時，真數(shù)取得最大值，S=g（t）_max=g（1）=log₂$\frac{9}{5}$，
即g（t）的最大值為log₂$\frac{9}{5}$；
（2）∵$\frac{1}{2}$f（x）=f（$\sqrt{x}$）且$\frac{x+1}{2}$≥$\sqrt{x}$，∴f（$\sqrt{x}$）與f（$\frac{x+1}{2}$）的大小關(guān)系需要作如下討論：
①當(dāng)x=1時，$\sqrt{x}$=$\frac{x+1}{2}$，所以，$\frac{1}{2}$f（x）=f（$\frac{x+1}{2}$）；
②當(dāng)x＞0且x≠1時，
  若0＜a＜1，則函數(shù)y=log_ax單調(diào)遞減，所以，f（$\sqrt{x}$）＞f（$\frac{x+1}{2}$），即$\frac{1}{2}$f（x）＞f（$\frac{x+1}{2}$）；
  若a＞1，則函數(shù)y=log_ax單調(diào)遞增，所以，f（$\sqrt{x}$）＜f（$\frac{x+1}{2}$），即$\frac{1}{2}$f（x）＜f（$\frac{x+1}{2}$）；
（3）∵a=10，∴F（x）=|f（x）|=|lgx|，而F（x）=F（t）且x＜t，
∴x＜1＜t，且-lgx=lgt，解得xt=1，即x=$\frac{1}{t}$，
又∵$\frac{x+t}{2}$=$\frac{t+\frac{1}{t}}{2}$≥1，所以F（$\frac{x+t}{2}$）=lg$\frac{t+\frac{1}{t}}{2}$，
由F（t）=2F（$\frac{x+t}{2}$）得lgt=2lg$\frac{t+\frac{1}{t}}{2}$，化簡得，$t+\frac{1}{t}-2\sqrt{t}$=0，
記H（t）=$t+\frac{1}{t}-2\sqrt{t}$，由于H（3）=2（$\frac{5}{3}$-$\sqrt{3}$）＜0，H（4）=$\frac{1}{4}$＞0，
所以，函數(shù)H（t）在t∈（3，4）內(nèi)必有零點，
故存在t∈（3，4），使F（x）=F（t）=2F（$\frac{x+t}{2}$）成立．

點評 本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角形面積的求解，以及函數(shù)值大小比較，函數(shù)零點的判斷，考查了數(shù)形結(jié)合與分類討論等解題思想，屬于難題．