Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若不等式|f（x）-m|＜2在定義域上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，進(jìn)而根據(jù)x的范圍和正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最大和最小值．
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為f（x）-2＜m＜f（x）+2恒成立，進(jìn)而利用（1）中函數(shù)的最大值和最小值，推斷出m＞f（x）_max-2且m＜f（x）_min+2，求得m的范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵=．
又∵，
∴，
即，
∴f（x）_max=3，f（x）_min=2．

（Ⅱ）∵|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2，，
∴m＞f（x）_max-2且m＜f（x）_min+2，
∴1＜m＜4，即m的取值范圍是（1，4）．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角函數(shù)和不等式的基本知識(shí)，以及運(yùn)用三角公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題的能力．