設(shè)拋物線y2=2px(p＞0)上有兩動點A、B（直線AB不垂直于x軸），F(xiàn)為焦點且|AF|+|BF|=8，又線段AB的垂直平分線恒過定點Q（6，0）.求：

（1）拋物線的方程；

（2）△AQB的面積的最大值.

解：（1）設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2)，AB的中點為M（x0,y0），則|AF|=x1+,|BF|=x2+.

所以|AF|+|BF|=x1+x2+p=8,

即p+2x0=8.①

由y12=2px1,y22=2px2得y12-y22=2p(x1-x2),所以.

因為MQ垂直平分AB，所以kMQ=，又kMQ=,所以,

所以p=6-x0.②

由①②得x0=2,p=4.

故拋物線的方程為y2=8x.

（2）由（1）知，kAB=,M(2,y0)，所以AB的方程為y-y0=(x-2)，代入y2=8x得y2-2y0y+2y02-16=0,

由Δ＞0得-4＜y0＜4,且y1+y2=2y0,y1y2=2y02-16.

所以|AB|=.

所以S△AQB=|AB|·|MQ|

=

=

≤.

當(dāng)且僅當(dāng)16+y02=32-2y02，即y0=±時取等號.

故△AQB的面積的最大值為.

點撥：運用不等式求最值作為一種思想滲透在各種題型中，經(jīng)常與其他的知識結(jié)合起來考查.因此，一定要掌握不等式的基本性質(zhì)，并能對其加以靈活運用.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A，B兩點，且A，B兩點坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2），y1＞0，y2＜0，M是拋物線的準(zhǔn)線上的一點，O是坐標(biāo)原點．若直線MA，MF，MB的斜率分別記為：KMA=a，KMF=b，KMB=c，（如圖）
（I）若y1y2=-4，求拋物線的方程；
（II）當(dāng)b=2時，求a+c的值；
（III）如果取KMA=2，KMB=-
12
時，判定|∠AMF-∠BMF|和∠MFO的值大小關(guān)系．并說明理由．

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7、設(shè)拋物線y2=2px（p＞0）上一點A（1，2）到點B（x0，0）的距離等于到直線x=-1的距離，則實數(shù)x0的值是
1
．

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拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準(zhǔn)線上．設(shè)拋物線y2=2px（p＞0），弦AB過焦點，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，其準(zhǔn)線與x軸的交點為Q，過Q點的直線l交拋物線于A，B兩點．
（1）若直線l的斜率為
2
2
，求證：
FA
•
FB
=0；
（2）設(shè)直線FA，F(xiàn)B的斜率分別為k1，k2，求k1+k2的值．

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A、
p2
2
B、p2
C、2p2
D、4p2

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