Processing math: 92%
18.已知橢圓E的一個頂點為A(0,-1),焦點在x軸上,若橢圓右焦點到直線x-y+22=0的距離為3
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx+m(k≠0)與該橢圓交于不同的兩點B,C,若坐標(biāo)原點O到直線l的距離為32,求△BOC面積的最大值.

分析 (I)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2a2+y2=1.右焦點F(c,0).則|c+22|2=3,解得c.可得a2=1+c2
(II)由坐標(biāo)原點O到直線l的距離為32,可得:4m2=3k2+3.設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2).直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為:(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0.可得|BC|=1+k2[x1+x224x1x2],利用S△BOC=12×32×|BC|,及其基本不等式的性質(zhì)即可得出.

解答 解:(I)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2a2+y2=1.右焦點F(c,0).
|c+22|2=3,解得c=2
∴a2=12+22=3.
∴橢圓E的方程為x23+y2=1.
(II)由坐標(biāo)原點O到直線l的距離為32,∴|m|1+k2=32,化為:4m2=3k2+3.
設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2).
聯(lián)立{y=kx+mx2+3y2=3,化為:(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0.
△>0,∴x1+x2=-6km1+3k2,x1•x2=3m231+3k2,
∴|BC|=1+k2[x1+x224x1x2]=1+k2[36k2m21+3k2243m231+3k2]
=231+k21+3k2m21+3k2=31+k21+9k21+3k2,
∴S△BOC=12×32×|BC|=34×31+k21+9k21+3k2=34×1+k21+9k21+3k22
=341+49k2+1k2+634×1+429+6=32,
當(dāng)且僅當(dāng)k=±33時取等號.
∴△BOC面積的最大值是32

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)、三角形面積計算公式,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

7.若正項等比數(shù)列{an},已知a1=4且a52=16a2•a6,則1a1+2a2+3a3+…+nan=2-n+22n

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

9.在△ABC中,已知a=3+1,b=2,c=2,則C+B=arccos624

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

6.祖沖之之子祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r代偉大的科學(xué)家,他在實踐的基礎(chǔ)上提出了體積計算的原理:“冪勢既同,則積不容異”.意思是,如果兩個等高的幾何體在同高處截得的截面面積恒等,那么這兩個幾何體的體積相等.此即祖暅原理.利用這個原理求球的體積時,需要構(gòu)造一個滿足條件的幾何體,已知該幾何體三視圖如圖所示,用一個與該幾何體的下底面平行相距為h(0<h<2)的平面截該幾何體,則截面面積為( �。�
A.B.πh2C.π(2-h)2D.π(4-h2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

13.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若ab+cc=\frac{a+b-c},則b+ca的取值范圍是(1,2].

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是( �。�
A.16B.20C.52D.60

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.已知正三棱錐P-ABC的外接球的球心O滿足OA+OB+OC=0,則二面角A-PB-C的正弦值為( �。�
A.16B.28C.265D.63

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

7.某三棱錐的三視圖如圖所示,其中三個視圖都是直角三角形,則該三棱錐外接球的體積為( �。�
A.B.\sqrt{6}πC.D.4\sqrt{3}π

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

8.cos(-\frac{17}{4}π)+sin(-\frac{17}{4}π)的值是0.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案