Question

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，點D在棱AB上．

(1)求證：AC⊥B1C；

（2）若D是AB中點，求證：AC1∥平面B1CD.

 

Answer 1

(1)詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）要證明AC⊥B1C，根據(jù)線面垂直的判定定理，只要轉(zhuǎn)化證明AC⊥平面BB1C1C即可；

（2）要證明AC1∥平面B1CD，根據(jù)線面的判定定理，只要轉(zhuǎn)換證明DE//AC1即可.

試題解析：(1)證明：在△ABC中，因為AB=5，AC=4，BC=3，

所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．

因為直三棱柱ABC-A1B1C1，所以CC1⊥AC，

因為BC∩AC=C，所以AC⊥平面BB1C1C．

所以AC⊥B1C． 6分

（2）連結(jié)BC1，交B1C于E，連接DE．

因為直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中點，所以側(cè)面BB1C1C為矩形，

DE為△ABC1的中位線，所以DE//AC1．

因為DE平面B1CD，AC1平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD． 12分

考點：空間位置關(guān)系的證明.