Question

對(duì)于實(shí)數(shù)x，將滿足“0≤y＜1且x-y為整數(shù)”的實(shí)數(shù)y稱為實(shí)數(shù)x的小數(shù)部分，用符號(hào)＜x＞表示．已知無(wú)窮數(shù)列{a_n}滿足如下條件：
①a₁=＜a＞；②a_n+1=

＜ 1 an ＞(an≠0) 0(an=0)

．
（1）當(dāng)a=

3

時(shí)，數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式為

 

；
（2）當(dāng)a＞

3

2

時(shí)，對(duì)任意n∈N^*都有a_n=a-1，則a的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）當(dāng)a=

3

時(shí)，a1=＜

3

＞=

3

-1．由＜x＞的意義可得a₂=

3 -1

2

，a₃=

3

-1．即可得出通項(xiàng)公式．
（2）由于對(duì)任意n∈N^*都有a_n=a-1，a＞

3

2

，可得

1

2

＜a-1＜1，1＜

1

a-1

＜2．因此a₂=＜

1

a-1

＞=

1

a-1

-1=a-1，解出即可．

解答： 解：（1）當(dāng)a=

3

時(shí)，a1=＜

3

＞=

3

-1．
∴a₂=＜

1

3 -1

＞=＜

3 +1

2

＞=

3 -1

2

，
∴a₃=＜

2

3 -1

＞=＜

3

+1＞=

3

-1．
∴數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式為an=

3 -1，n為奇數(shù) 3 -1 2 ，n為偶數(shù)

．
（2）∵對(duì)任意n∈N^*都有a_n=a-1，a＞

3

2

，
可得0≤a-1＜1，a＞

3

2

，
∴

1

2

＜a-1＜1，
∴1＜

1

a-1

＜2．
∴a₂=＜

1

a-1

＞=

1

a-1

-1=a-1，
化為a²-a-1=0，
解得a=

5 +1

2

．
故答案分別為：（1）an=

3 -1，n為奇數(shù) 3 -1 2 ，n為偶數(shù)

．
（2）

5 +1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義＜x＞的計(jì)算方法、遞推式的意義，考查了推理能力，屬于難題．