Question

在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等邊三角形，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，E是AD的中點，F(xiàn)是PC的中點．
（1）求證：BE⊥平面PAD；
（2）求證：EF∥平面PAB；
（3）求直線EF與平面PBE所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知利用余弦定理可求BE，利用勾股定理可知BE⊥AE，由平面PAD⊥平面ABCD可證BE⊥平面PAD
（II）證明：由F是PC的中點考慮取PB的中點H，容易證四邊形AHFE是平行四邊形即EF∥AH，根據(jù)線面平行的判定定理可證
（III）由（I）知BC⊥BE，PE⊥BC，可得BC⊥平面PBE，又由（II）知HF∥BC，可得FH⊥平面PBE，則∠FEH是直線EF與平面PBE所成的角，，在Rt△PBE中可求

解答：證明：（I）E是AD中點，連接PE∴AB=2，AE=1
∴BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cos∠BAD
=4+1-2×2×1×cos60°=3
∴AE²+BE²=1+3=4=AB²∴BE⊥AE
又平面PAD⊥平面ZBCD，交線AD
∴BE⊥平面PAD
（II）證明：取PB的中點H，連接FH，AH
AE=

1

2

BC  ，AE∥BC，又HF是△PBC的中位線
HF∥

1

2

BC，HF=

1

2

BC
∴AE∥HF，AE=HF
∴四邊形AHFE是平行四邊形
∴EF∥AH
又EF?平面PAB，AH?平面PAB
∴AH∥平面PAB
（III）由（I）知BC⊥BE，PE⊥BC
又PE'BE是平面PBE內(nèi)兩相交直線
∴BC⊥平面PBE，又由（II）知HF∥BC
∴FH⊥平面PBE
∴∠FEH是直線EF與平面PBE所成的角
易知BE=PE=

3

，在Rt△PBE中EH=

6

2

∴tan∠FEH=

6

3

∴cos∠FEH=

15

5

故直線EF與平面PBE所成角的余弦值為

15

5

點評：本題主要考查了直線與平面平行及直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了線面關(guān)系與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化．