Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+cos2x}{\sqrt{2}sin（\frac{π}{2}+x）}$+$\sqrt{6}$sinx
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)y=f（x）=$\frac{1+cos2x}{\sqrt{2}sin（\frac{π}{2}+x）}$+$\sqrt{6}$sinx
=$\frac{{2cos}^{2}x}{\sqrt{2}•cosx}$+$\sqrt{6}$sinx=$\sqrt{2}$cosx+$\sqrt{6}$sinx=2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{6}$），
故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠2kπ±$\frac{π}{2}$}，k∈Z．
令2kπ-$\frac{π}{2}$＜x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$，求得2kπ-$\frac{2π}{3}$＜x＜2kπ+$\frac{π}{3}$，
可得函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{π}{3}$ ），k∈Z．
（Ⅱ）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上，x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
故當(dāng)x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為2$\sqrt{2}$，
當(dāng)x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．