精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

已知某圓的極坐標方程是 $數(shù)學公式$
求：
（1）求圓的普通方程和一個參數(shù)方程；
（2）圓上所有點（x，y）中xy的最大值和最小值．

解：（1）普通方程：x²+y²-4x-4y+6=0…（2分）；
參數(shù)方程： $\text{[math]}$ （θ為參數(shù)）…（4分）
（2）xy=（2+ $\text{[math]}$ cosθ）（2+ $\text{[math]}$ sinθ）=4+2 $\text{[math]}$ （sinθ+cosθ）+2sinθcosθ…（5分）
令sinθ+cosθ=t∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，2sinθcosθ=t²-1
，則xy=t²+2 $\text{[math]}$ t+3…（6分）
當t=- $\text{[math]}$ 時，最小值是1；…（8分）
當t= $\text{[math]}$ 時，最大值是9；…（10分）
分析：（1）圓的極坐標方程是 $\text{[math]}$ ，化為直角坐標方程即 x²+y²-4x-4y+6=0，從而進一步得到其參數(shù)方程．
（2）因為 xy=（2+ $\text{[math]}$ cosθ）（2+ $\text{[math]}$ sinθ）=4+2 $\text{[math]}$ （sinθ+cosθ）+2sinθcosθ，再令sinθ+cosθ=t∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，則xy=t²+2 $\text{[math]}$ t+3，根據(jù)二次函數(shù)的最值，求得其最大值和最小值．
點評：本題考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，兩角和的正弦公式，圓的參數(shù)方程，得到圓的參數(shù)方程，是解題的關鍵．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每題10分，共計20分．
A、如圖，AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上．求證：PE是⊙O的切線．
B、設M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍，縱坐標伸長到3倍的伸壓變換．
（1）求矩陣M的特征值及相應的特征向量；
（2）求逆矩陣M^-1以及橢圓