Question

17．已知S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且S₈＞S₉＞S₇，給出下列四個(gè)命題：
①d＜0； 
②S₁₆＜0； 
③數(shù)列{S_n}中的最大項(xiàng)為S₁₅；
④|a₈|＞|a₉|．
其中正確命題有①④．

Answer 1

分析 由S₈＞S₉，且S₉=S₈+a₉，得到a₉＜0，由S₈＞S₇，S₈=S₇+a₈，得到a₈＞0，從而d=a₉-a₈＜0；由S₉＞S₇，得到a₈+a₉＞0，得到S₁₆=8（a₈+a₉）＞0；由a₈＞0，a₉＜0，得數(shù)列{S_n}中的最大項(xiàng)為S₈，；由8（a₈+a₉）＞0，得|a₈|＞|a₉|．

解答 解：∵S₈＞S₉，且S₉=S₈+a₉，
∴S₈＞S₈+a₉，即a₉＜0，
又S₈＞S₇，S₈=S₇+a₈，
∴S₇+a₈＞S₇，即a₈＞0，
∴d=a₉-a₈＜0，故①為真命題；
∵S₉＞S₇，S₉=S₇+a₈+a₉，
∴S₇+a₈+a₉＞S₇，即a₈+a₉＞0，
又∵a₁+a₁₅=2a₈，
∴S₁₅=$\frac{15（{a}_{1}+{a}_{15}）}{2}$=15a₈＞0，
又∵a₁+a₁₆=a₈+a₉，
∴S₁₆=$\frac{16（{a}_{1}+{a}_{16}）}{2}$=8（a₈+a₉）＞0，故②錯(cuò)誤；
又a₁+a₁₇=2a₉，
∴S₁₇=$\frac{17（{a}_{1}+{a}_{17}）}{2}$=17a₉＜0，
∵a₈＞0，a₉＜0，∴數(shù)列{S_n}中的最大項(xiàng)為S₈，故③錯(cuò)誤；
∵8（a₈+a₉）＞0，∴|a₈|＞|a₉|，故④正確；
故答案為：①④．

點(diǎn)評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．