Question

已知直線y=-x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線l：x-2y=0上，求此橢圓的離心率．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：聯(lián)立直線y=-x+1與直線l：x-2y=0得到線段AB的中點(diǎn)為（

2

3

，

1

3

），設(shè)y=-x+1與

x2

a2

+

y2

b2

=1的交點(diǎn)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用點(diǎn)差法能求出橢圓的離心率．

解答： 解：聯(lián)立直線y=-x+1與直線l：x-2y=0，得x=

2

3

，y=

1

3

，
∴直線y=-x+1與x-2y=0的交點(diǎn)為M（

2

3

，

1

3

），∴線段AB的中點(diǎn)為（

2

3

，

1

3

），
設(shè)y=-x+1與

x2

a2

+

y2

b2

=1的交點(diǎn)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

4

3

，y₁+y₂=

2

3

，
分別把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
兩式相減，得-

b2

a2

=-

1

2

，
∴a²=2b²，∴a=

2

b=

2

c，∴e=

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．