Question

已知函數(shù)f（x）=1+2sin（ωx-

π

3

）（0＜ω＜10）的圖象過點(diǎn)（-

π

12

，-1）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若y=t在x∈[

π

3

，

5

6

π]上與f（x）恒有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由f（x）的圖象過點(diǎn)(-

π

12

，-1)，求得 sin（-

π

12

ω+

π

3

）=-1，即

π

12

ω+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈z．結(jié)合0＜ω＜10，求得ω=2，可得f（x）的解析式．
（2）由x的范圍，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的范圍，即為所求的t的范圍．

解答： 解：（1）∵（x）=1+2sin（ωx-

π

3

）的圖象過點(diǎn)(-

π

12

，-1)，
∴1+2sin（-

π

12

×ω-

π

3

）=-1，2sin（-

π

12

×ω-

π

3

）=-2，即2sin（-

π

12

ω-

π

3

）=-1，
∴sin（

π

12

ω+

π

3

）=-1，即

π

12

ω+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈z．
∴ω=24k+2，k∈z，又因?yàn)?＜ω＜10，所以ω=2，∴f(x)=1+2sin(2x-

π

3

)．
（2）∵x∈[

π

3

，

5

6

π]，所以(2x-

π

3

)∈[

π

3

，

4π

3

]，∴f（x）∈[1-

3

，3]，
又因?yàn)閥=t在x∈[

π

3

，

5

6

π]上與 f（x）恒有交點(diǎn)，所以t∈[-

3

+1，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的定義域和值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．